Topologie

Definition Topologie

Eine Topologie auf einer Menge $X$ ist eine Menge $T$ von Teilmengen von $X$, die folgende Eigenschaften besitzt:

Die Menge $X$ und die leere Menge $\emptyset$ gehören zu $T$.

Der Durchschnitt je zweier Mengen aus $T$ gehört zu $T$.

Die Vereinigung beliebig vieler Mengen aus $T$ gehört zu $T$.

Ein Element von $T$ heißt oﬀene Menge der Topologie $T$.

Eine Teilmenge $A$ von $X$ heißt abgeschlossen bezüglich $T$, falls ihr Komplement $A_C := X \setminus A$ bezüglich $T$ oﬀen ist.

Ein topologischer Raum ist ein Paar $(X,T)$, bestehend aus einer Menge $X$ und einer Topologie $T$ auf $X$.

Ein Beispiel:
Der $\boldsymbol{\mathbb{R}^n}$ mit der Definition von offenen Mengen mittels des euklidischen Abstands

Die obige sehr allgemeine Definition erscheint auf den ersten Blick etwas verblüffend, wenn man von dem sonst in dem $\mathbb{R}^n$ üblichen Begriff der offenen Mengen herkommt.

Hier wird eine Teilmenge $T$ von $\mathbb{R}^n$ üblicherweise mit Hilfe des euklidischen Abstands als offen definiert:

Eine Menge $T \subseteq \mathbb{R}^n$ heißt oﬀen, wenn für jedes $x \in \mathbb{R}^n$ ein $\epsilon > 0$ existiert, so dass ein ganzer $\epsilon$–Ball $B_\epsilon(x)$ um $x$ in $T$ enthalten ist.

Hier der Nachweis, dass die Definition offener Mengen mittels des euklidischen Abstands eine Topologie im oben definierten Sinne ist:

Es gilt offensichtlich:
1. Für die leere Menge $\emptyset$ braucht man nichts zu zeigen, da sie ja keine Elemente enthält.
2. Ist $x \in \mathbb{R}^n$ und $r > 0$, so liegt natürlich $B_r(x)$ in $\mathbb{R}^n$. Also ist $\mathbb{R}^n$ offen.
Seien $U_1, U_2 \subset \mathbb{R}^n$ offen, $x_0 \in U_1 \cap U_2$ beliebig vorgegeben. Dann gibt es $\epsilon_1, \epsilon_2 > 0$, so daß $B_{\epsilon_1}(x_0) \subset U_1$ und $B_{\epsilon_2}(x_0) \subset U_2$ ist. Setzt man $\epsilon := \min(\epsilon_1, \epsilon_2)$, so ist $B_\epsilon(x_0) \subset U_1 \cap U_2$. Also ist der Durchschnitt von zwei offenen Mengen wieder offen.
Sei $(U_\lambda)_{\lambda \in L}$ eine Familie von offenen Mengen in $X$, $x_0 \in \bigcup _{\lambda \in L} {U _\lambda}$. Das bedeutet:

\[\begin{equation} \begin{split} & \, \exists \, \lambda \in L \text{ mit } x_0 \in U_\lambda \\ \Longrightarrow & \, \exists \, \lambda \in L, \exists \, \epsilon > 0 \text{, so das } B_\epsilon(x_0) \subset U_\lambda \\ \Longrightarrow & \, \exists \, \epsilon > 0 \text{ mit } B_\epsilon(x_0) \subset \bigcup _{\lambda \in L} {U _\lambda} \end{split} \end{equation}\]

Also ist die Vereinigung der $U_\lambda$ offen.

Definition Stetigkeit

Gegeben seien topologische Räume $X$ und $Y$, sowie eine Abbildung $f \colon X \to Y$ und ein $x \in X$.

$f$ heißt stetig in $x$, wenn es zu jeder oﬀenen Umgebung $V$ von $f(x)$ eine oﬀene Umgebung $U$ von $x$ gibt, so dass $f(U) \subset V$.

$f$ heißt stetig, wenn $f$ in jedem Punkt von $X$ stetig ist.

Vergleich mit der im $\boldsymbol{\mathbb{R}^n}$ üblichen $\boldsymbol{\delta\text{-}\epsilon}$-Definition von Stetigkeit

Eine Abbildung $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ ist genau dann stetig in $x_0$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

\[\begin{equation} \begin{split} & \forall \epsilon > 0 \quad \exists \, \delta > 0 \text{, so dass gilt: } \\ & d_n(x, x_0) < \delta \quad \Longrightarrow \quad d_m(f(x), f(x_0)) < \epsilon \\ & \text {wobei } d_i \text { der jeweilige euklidische Abstand im } \mathbb{R}^i \text{ sei.} \end{split} \end{equation}\]

Beweis:

$\boldsymbol{\Longrightarrow}$:

Sei ein $x_0 \in \mathbb{R}^n$ und ein $\epsilon > 0$ gegeben, sodass $U_\epsilon(f(x_0))$ eine offene Umgebung von $f(x_0)$ ist. Daraus folgt dann, dass es eine Umgebung $U^{-1} := f^{-1}(U_\epsilon(f(x_0)))$ gibt und somit ein $\delta > 0$, für welches $U_\delta(x_0) \subset U^{-1}$ ist.

Somit ist $f$ im Punkt $x_0$ stetig im Sinne der $\delta\text{-}\epsilon$-Definition.

$\boldsymbol{\Longleftarrow}$:

Sei $f$ in $x_0$ stetig (entsprechend der $\delta\text{-}\epsilon$-Definition) und $U$ eine Umgebung von $f(x_0)$. Dann gibt es ein $\epsilon > 0$ mit $U_\epsilon(f(x_0)) \subset U$ und somit ein $\delta > 0$, sodass gilt:

\[\begin{equation} \begin{split} & \forall x \in U_\delta(x_0) \, : \quad f(x) \in U_\epsilon(f(x_0)) \end{split} \end{equation}\]

Daraus folgt $U_\delta(x_0) \subset f^{-1}(U)$ und daher ist $f^{-1}(U)$ eine Umgebung von $x_0$.

Somit ist $f$ auch im topologischen Sinne stetig.

Hiermit sind die beiden grundlegenden Begriffe festgelegt worden, mit denen die Mathematik sich in ihrem Teilbereich Topologie beschäftigt: Untersucht werden Eigenschaften topologischer Räume, die bei stetiger Verformung erhalten bleiben.

Hierzu wird noch der Begriff des Homöomorphismus eingeführt.

Definition Homöomorphie

Zwei topologische Räume $X$ und $Y$ heißen homöomorph bzw. topologisch äquivalent, $X \approx Y$, wenn es eine bijektive stetige Abbildung $f \colon X \to Y$ gibt, so dass $f^{-1} \colon Y \to X$ ebenfalls stetig ist. $f$ wird dann Homöomorphismus genannt.

Leider ist es nicht immer einfach zu entscheiden, ob zwei topologische Räume homöomorpfh sind. Ein Teilbereich der Topologie, die Knotentheorie beschäftigt sich viel mit diesem Problem.

Häufig reicht es aber auch zu wissen, ob zwei topologische Räume homotop zueinander sind, d.h sich durch stetige verformungen ineinander überführen lassen können.