Topologie

Homotopie

Generell beschäftigt sich die Topologie mit der Klassifikation topologischer Räume bis auf Homöomorphie. Dies ist aber in der Regel nict einfach zu entscheiden, insbesondere auch, ob zwei topologische Räume nicht homöomorph sind.

Wir weichen den Homöomorphiebegriff jetzt auf, indem wir den Homotopiebegriff einführen.

Definition Homotopie

Seien $(X, T_{X})$ und $(Y, T_{Y})$ topologische Räume, $M \subseteq X$ ein Teilraum und $f, g : X \to Y$ stetige Abbildungen mit $f | M = g | M$ .

Eine Homotopie von $f$ nach $g$ relativ zu $M$ ist eine stetige Abbildung $h : [0, 1] \times X \to Y, (t, x) \mapsto h (t, x)$ mit $\begin{aligned} h (0, x) = f (x), h (1, x) = g (x), \\ h (t, m) = f (m) = g (m) \end{aligned}$ $\forall x \in X, m \in M, t \in [0, 1]$ .

Gibt es eine Homotopie relativ zu $M$ von $f$ nach $g$ , so nennt man $f, g$ homotop relativ zu $M$ und schreibt $f \sim_{M} g$ .

Für $M = \emptyset$ spricht man auch einfach von Homotopie und homotop und schreibt $f \sim g$ .

Stetige Abbildungen $f : X \to Y$ , die homotop zu einer konstanten Abbildung $g : X \to Y$ sind, heißen nullhomotop.

Für zwei stetige Abbildungen $f : X \to Y$ und $g : Y \to X$ muss also — im Gegensatz zur Homöomorphie — nicht mehr gelten, dass $f \circ g = i d_{X}$ und $g \circ f = i d_{Y}$ ist, sondern sie müssen sich nur noch stetig nach $i d_{X}$ bzw. $i d_{Y}$ deformieren lassen: $f \circ g \sim i d_{X}$ und $g \circ f \sim i d_{Y}$