Satz von Bayes
in zwei Formaten
Der Satz von Bayes gehört zum Teilbereich Wahrscheinlichkeitstheorie der Mathematik. Ich bin ihm zum ersten Mal begenet, als ich mich mit künstlicher Intelligenz beschäftigt habe. Dort wird er benutzt, um Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen zu berechnen, nachdem man einige Vorkenntnisse gewonnen hat.
Man kann den Satz auf unterschiedliche Arten darstellen. Die gängigste Darstellugsart benutzt bedingte Wahrscheinlichkeiten:
Für eine (disjunkte) Zerlegung des Ergebnisraums in
Für einen Beweis hierfür sei auf Wikipedia verwiesen.
Beispiel 1:
Gegeben seien 20 durchnummerierte Kugeln, von denen 8 rot und 12 schwarz sind. Die Wahrscheinlichkeit
Nun verrät uns jemand (bzw. haben wir herausgefunden), dass von den geraden Kugeln 6 rot sind, von den ungeraden Kugeln also nur 2. Somit haben wir:
Ziehen wir nun aus den 20 Kugeln eine beliebige Kugel und wir stellen fest, dass sie rot ist. Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass es eine gerade Kugel ist? Hier hilft der Satz von Bayes:
Wahrscheinlichkeitsverhältnisse
Üblicherweise - und in der Mathematik als Standard - werden Wahrscheinlichkeiten als Zahl zwischen 0 7nd 1 angegeben, also
Man kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch das Verhältnis
Wie könne wir nun dieses Wahrscheinlichkeitsverhältnis in dem Satz von Bayes nutzen? Berechnen wir also einmal das Verhältnis für eine bedingte Wahrscheinlichkeit:
Bezogen auf unser Beispiel 1 gilt dann also
Wir sehen also, dass der Satz von Bayes mit Wahrscheinlichkeitsverhältnissen wesentlich einfacher anzuwenden ist.
Beispiel 2:
Gegeben seien 3 Münzen, von denen 2 fair seien, d.h bei einem Wurf fällt Kopf und Zahl mit gleicher Wahrscheinlichkeit
Wenn man nun eine der drei Münzen auswählt, so besteht die Wahrscheinlichkeit, die manipulierte Münze zu erwischen
Werfen wir diese Münze nun dreimal und sie zeigt jedesmal mit dem Kopf nach oben. Wie wahrscheinlich ist es nun mit dieser neuen Erkenntnis, dass es die manipulierte Münze ist? Nach dem Satz von Bayes gilt:
Versuchen wir dies nun mit Wahrscheinlichkeitsverhältnissen:
was wiederum der Wahrscheinlichkeit von
Beispiel 3:
Noch ein Beispiel aus der Praxis. Es sei (statistisch) gegeben, dass 5% aller Frauen Brustkrebs haben, also
Bei einem Mammographie-Screening wird bei Brustkrebserkrankten der Brustkrebs zu 80% erkannt, d.h.
Dummerweise ergibt das Screening bei gesunden Frauen ebenfalls n 10% der Fälle ein positiven Testergebnis, d.h.
Wie hoch ist denn nun die Wahrscheinlichkeit, bei einem positiven Test tatsächlich an Brustkrebs erkrankt zu sein? Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverhältnisse ergibt sich:
was einer Wahrscheinlichkeit von