Topologie

Metrischer Raum

Definition 1

Sei $X$ eine beliebige Menge. Eine Abbildung $d \colon \, X \times X \to \mathbb{R}$ heißt Metrik auf $X$, wenn für beliebige Elemente $x$, $y$ und $z$ von $X$ gilt:

\[\begin{equation} \begin{split} (1) & \quad d(x,y) = 0 \Longleftrightarrow x = y \\ (2) & \quad d(x,y) = d(y,x) \\ (3) & \quad d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \end{split} \end{equation}\]

Das Paar $(X,d)$ heißt metrischer Raum, wenn $d$ eine Metrik auf $X$ ist.

Satz 1

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
Dann gilt: $d(x,y) \geq 0 \; \forall x, y \in X$

Beweis:

\[\begin{equation} \begin{split} 0 & = \frac {1}{2} \, d(x,x) & \quad Definition1(1)\\ & \leq \frac {1}{2} \, (d(x,y) + d(y,x)) & \quad Definition1(3)\\ & = \frac {1}{2} \, (d(x,y) + d(x,y)) & \quad Definition1(2)\\ & = d(x,y) \end{split} \end{equation}\]

Satz 2¹

Sei $X$ eine beliebige Menge. Eine Abbildung $d’ \colon \, X \times X \to \mathbb{R}$ ist genau dann eine Metrik auf $X$, wenn für beliebige Elemente $x$, $y$ und $z$ von $X$ gilt:

\[\begin{equation} \begin{split} (1') & \quad d'(x,y) = 0 \Longleftrightarrow x = y \\ (2') & \quad d'(x,y) \leq d'(x,z) + d'(y,z) \end{split} \end{equation}\]

Beweis:

Definition1(1) und Satz2(1’) sind identisch.

Sei nun $d$ eine Metrik auf $X$. Dann gilt:

\[\begin{equation} \begin{split} \quad d(x,y) & \leq d(x,z) + d(z,y) & \quad Definition1(3)\\ & = d(x,z) + d(y,z) & \quad Definition1(2) \end{split} \end{equation}\]

Somit erfüllt die Metrik $d$ die Bedingung $(2’)$ des Satzes.

Sei nun $d’$ eine Abbildung wie aus dem Satz. Dann gilt;

\[\begin{equation} \begin{split} \quad d'(x,y) & \leq d'(x,x) + d'(y,x)\\ & = d'(y,x)\\ & \leq d'(y,y) + d'(x,y)\\ & = d'(x,y) \end{split} \end{equation}\]

Somit gilt $d’(x,y) = d’(y,x)$ und die Definition1(2) ist für $d’$ erfüllt.

Damit ergibt sich sofort $d’(x,y)$ $\leq d’(x,z) + d’(y,z)$ $= d’(x,z) + d’(z,y)$. Somit ist auch Definition1(3) erfüllt und $d’$ ist eine Metrik.

Anmerkung 1

Satz 2 gilt nicht, wenn man die Bedingung (2) durch die übliche Dreiecksungleichung $d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$ ersetzt.

Als Gegenbeispiel sei hier die Abbildung $d \colon \, \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}, (x,y) \mapsto x - y,$ betrachtet.

Diese Abbildung genügt der Dreiecksungleichung $d(x,y)$ $= x - y$ $= x - z + z - y$ $= d(x,z) - d(z,y)$.

Ferner gilt sicherlich die Bedingung Definition1(1), aber die Bedingung Definition1(2) ist nicht für alle $x, y \in \mathbb{R}$ erfüllt: $d(2,3) = 2 - 3$ $= -1 \neq 1$ $= 3 - 2 = d(3,2)$.

Satz 3²

Für Punkte $x = (x_1,x_2)$ der Ebene $\mathbb{R}^2$ seien

\[\begin{equation} \begin{split} \Vert x \Vert_1 & = \vert x_1 \vert + \vert x_2 \vert\\ \Vert x \Vert_2 & = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}\\ \Vert x \Vert_\infty & = max\lbrace\vert x_1 \vert,\vert x_2 \vert\rbrace \end{split} \end{equation}\]

die üblichen Normen und $d_i$, $i \in \lbrace 1, 2, \infty \rbrace$, die durch $d_i = \Vert x-y \Vert_i$ definierten Metriken auf $\mathbb{R}^2$.

Diese Metriken sind Bilipschitz-äquivalent.

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